Pierwiastki jako potęgi ułamkowe, notacja naukowa i inżynierska, cyfry znaczące w rachunkach na wynikach pomiarów oraz zamiana liczb między systemem dziesiętnym, dwójkowym, ósemkowym, dwunastkowym i szesnastkowym.

Ostatnia część powtórki z arytmetyki zbiera to, czego używa się potem w rachunkach technicznych: pierwiastek zapisany jako potęga ułamkowa, notację naukową i inżynierską oraz zasadę cyfr znaczących. Na koniec wracają systemy liczbowe - tym razem wszystkie naraz, w obie strony. Warto zwrócić uwagę na jedno zadanie bez wyniku: pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych.

Arytmetyka - zadania powtórkowe III

Oblicz wartość każdej z liczb z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

\text{a)}\quad 11^{\tfrac{1}{4}} = 1{,}821

\text{b)}\quad \sqrt[7]{3} = 3^{\tfrac{1}{7}} = 1{,}170

\text{c)}\quad (-81)^{\tfrac{1}{5}} = -2{,}408

\text{d)}\quad (-81)^{\tfrac{1}{4}}

nie istnieje

Zapisz w notacji naukowej.

\text{a)}\quad 537{,}6 = 5{,}376 \cdot 10^{2}

\text{b)}\quad 0{,}364 = 3{,}64 \cdot 10^{-1}

\text{c)}\quad 4902 = 4{,}902 \cdot 10^{3}

\text{d)}\quad 0{,}000125 = 1{,}25 \cdot 10^{-4}

Zamień na notację inżynierską.

\text{a)}\quad 6{,}147 \cdot 10^{7} = 61{,}47 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{7} = 61{,}47 \cdot 10^{6}

\text{b)}\quad 2{,}439 \cdot 10^{-4} = 243{,}9 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-4} = 243{,}9 \cdot 10^{-6}

\text{c)}\quad 5{,}286 \cdot 10^{5} = 528{,}6 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{5} = 528{,}6 \cdot 10^{3}

\text{d)}\quad 4{,}371 \cdot 10^{-7} = 437{,}1 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-7} = 437{,}1 \cdot 10^{-9}

Oblicz iloczyn i podaj wynik w notacji naukowej oraz inżynierskiej.

(6{,}43 \cdot 10^{3})(7{,}35 \cdot 10^{4}) = 6{,}43 \cdot 7{,}35 \cdot 10^{3} \cdot 10^{4} = 47{,}2605 \cdot 10^{7}

4{,}72605 \cdot 10^{1} \cdot 10^{7} = 4{,}72605 \cdot 10^{8}

notacja naukowa

472{,}605 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{7} = 472{,}605 \cdot 10^{6}

notacja inżynierska

Poniższe liczby pochodzą z pomiarów. Wykonaj obliczenia, zachowując właściwą dokładność.

\text{a)}\quad 18{,}4^{1{,}6} \cdot 0{,}01 = 105{,}6108448 \cdot 0{,}01 = 1{,}056108448 \approx 1

0,01 ma jedną cyfrę znaczącą, więc wynik też podajemy z jedną cyfrą znaczącą.

\text{b)}\quad \frac{7{,}632 \cdot 2{,}14 - 8{,}32 : 1{,}1}{16{,}04} = \frac{16{,}33248 - 7{,}56(36)}{16{,}04} = \frac{8{,}768844}{16{,}04} = 0{,}5466860349 \approx 0{,}55

Najmniej dokładna z liczb ma dwie cyfry znaczące, więc wynik zaokrąglamy do dwóch cyfr znaczących.

Zapisz liczby w systemie dziesiętnym

\text{a)}\quad 1111{,}11_{2} = 15{,}75_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}1 \cdot 2 &= 2 \\2 + 1 &= 3 \\3 \cdot 2 &= 6 \\6 + 1 &= 7 \\7 \cdot 2 &= 14 \\14 + 1 &= 15\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}1 \cdot 2 &= 2 \\2 + 1 &= 3\end{aligned}

3 \cdot 2^{-2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0{,}75

\text{b)}\quad 777{,}701_{8} = 511{,}877_{10}

Część całkowita

\begin{aligned}7 \cdot 8 &= 56 \\56 + 7 &= 63 \\63 \cdot 8 &= 504 \\504 + 7 &= 511\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}7 \cdot 8 &= 56 \\56 + 0 &= 56 \\56 \cdot 8 &= 448 \\448 + 1 &= 449\end{aligned}

449 \cdot 8^{-3} = 449 \cdot \frac{1}{512} = \frac{449}{512} = 0{,}877

\text{c)}\quad 3\Lambda 3{,}9\Lambda 1_{12} = 567{,}827_{10}

Λ = 11

Część całkowita

\begin{aligned}3 \cdot 12 &= 36 \\36 + 11 &= 47 \\47 \cdot 12 &= 564 \\564 + 3 &= 567\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}9 \cdot 12 &= 108 \\108 + 11 &= 119 \\119 \cdot 12 &= 1428 \\1428 + 1 &= 1429\end{aligned}

1429 \cdot 12^{-3} = 1429 \cdot \frac{1}{1728} = \frac{1429}{1728} = 0{,}827

\text{d)}\quad E02{,}FAB_{16} = 3586{,}979_{10}

A = 10, B = 11, E = 14, F = 15

Część całkowita

\begin{aligned}14 \cdot 16 &= 224 \\224 + 0 &= 224 \\224 \cdot 16 &= 3584 \\3584 + 2 &= 3586\end{aligned}

Część ułamkowa

\begin{aligned}15 \cdot 16 &= 240 \\240 + 10 &= 250 \\250 \cdot 16 &= 4000 \\4000 + 11 &= 4011\end{aligned}

4011 \cdot 16^{-3} = 4011 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{4011}{4096} = 0{,}979

Zamień 19,872 na postać ósemkową, dwunastkową i szesnastkową

19{,}872_{10} = 23{,}676_{8} = 13{,}DF_{16} = 17{,}X57_{12}

System ósemkowy

		reszta
19	: 8	3
2	: 8	2
0		↑

19_{10} = 23_{8}

	0,872	· 8
6	,976	· 8
7	,808	· 8
6	,464	· 8
3	,712

mnożymy tylko część ułamkową

0{,}872_{10} = 0{,}676_{8}

System szesnastkowy przez zapis dwójkowy

010

011

110

111

110

0001

0011

1101

1111

0000

System dwunastkowy

		reszta
19	: 12	7
1	: 12	1
0		↑

19_{10} = 17_{12}

	0,872	· 12
X	,464	· 12
5	,568	· 12
6	,816	· 12
9	,792

mnożymy tylko część ułamkową

0{,}872_{10} = 0{,}X57_{12}

Czwarta cyfra decyduje o zaokrągleniu trzeciej: 9 to więcej niż połowa dwunastki, więc 0,X569 zapisujemy jako 0,X57.

PhiBoard to darmowa tablica online do matematyki

Ta lekcja to jej część. Na samej tablicy narysujesz oś liczbową, wykres funkcji czy figurę, zapiszesz wzór i rozwiążesz zadanie razem z nauczycielem albo kolegą - na żywo, w przeglądarce. Nasza aplikacja jest w całości darmowa.

Załóż darmowe konto

Zobacz, co potrafi tablica

Sprawdź, czy naprawdę umiesz

Teoria to połowa drogi. Rozwiąż kilka zadań z tego samego materiału - każde z rozwiązaniem krok po kroku, bez konta i bez opłat.

Przejdź do zadań

Najczęstsze pytania

Dlaczego pierwiastek czwartego stopnia z −81 nie istnieje?

Bo każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni, więc nie ma liczby, której czwarta potęga wynosi −81. Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej już istnieje: (−81) do potęgi jednej piątej to −2,408.

Czym różni się notacja inżynierska od naukowej?

W naukowej przed potęgą stoi liczba od 1 do 10, a w inżynierskiej wykładnik musi być wielokrotnością trzech - dzięki temu odpowiada przedrostkom kilo, mega, mili. Dlatego 6,147 · 10⁷ zapisujemy jako 61,47 · 10⁶.

Ile cyfr znaczących ma mieć wynik obliczeń na pomiarach?

Tyle, ile ma najmniej dokładna z użytych liczb. Mnożenie przez 0,01, czyli liczbę o jednej cyfrze znaczącej, daje wynik podawany z jedną cyfrą znaczącą - stąd 1,056108448 zapisujemy jako 1.

Jak zamienić liczbę dziesiętną na kilka systemów naraz?

Najkrócej przez system ósemkowy: drabinkami dostajemy zapis ósemkowy, z niego zapis dwójkowy po trzy cyfry, a z pogrupowanych po cztery cyfr - szesnastkowy. System dwunastkowy liczymy osobno, bo 12 nie jest potęgą dwójki.

Lekcja z bazy wiedzy PhiBoard: phiboard.com/baza-wiedzy/od-zera-do-inzyniera/arytmetyka-zadania-powtorkowe-iii. Na stronie lekcji znajdziesz też gry i zadania do samodzielnego sprawdzenia się - za darmo i bez zakładania konta.

← Poprzednia

Arytmetyka - zadania powtórkowe II

Następna →

Algebra: prawa działań, redukcja wyrazów i opuszczanie nawiasów